図の読み方
同じ大きさの立方体を、床からすき間なく積みます。上の図の色のマスには1個以上、白いマスには積みません。数字があるときは、その場所に積む個数を表します。
正面は上の図の下側。横は右側から見ます。横の図の左は手前、右は奥です。
図はマスを押すとぬれ、もう一度押すと消せます。数の答えは単位を付けずに入力します(例:12)。
キーボードでは、矢印キーでマスを移動し、スペースキーでぬれます。
基本01〜04
次の図は、上から見た図です。数字は、そのマスに積んだ積み木の個数を表します。
- 正面から見た図を、答えの方眼にぬりましょう。
- 積み木は全部で何個ありますか。
問題の条件
ヒントを見る
ヒント1 見るところ
正面から見ると、奥にある積み木が重なって見えます。
ヒント2 考え始める
同じ左右の位置にある列ごとに、一番高い積み木を探そう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 正面から見ると、前後の積み木が重なります。左・中・右の列で、いちばん高いところを探します。
- 左から2段、2段、1段です。それぞれ下からその段数だけぬります。
- 全部の個数は、上の図の数字を足して、1+2+2+1+1=7個です。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次の図の数字は、そのマスに積んだ積み木の個数です。横は、右側から見ます。
- 横から見た図を、答えの方眼にぬりましょう。方眼の左が手前です。
- 積み木は全部で何個ありますか。
問題の条件
ヒントを見る
ヒント1 見るところ
横から見たとき、左右に並んだ積み木は重なります。
ヒント2 考え始める
どちら側から見る図かを確認し、奥行きの列ごとの一番高い高さを使おう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 右側から見ると、左右の積み木が重なります。手前と奥で、それぞれいちばん高いところを探します。
- 手前は2段、奥は3段です。横の図では、左の列を2段、右の列を3段ぬります。
- 全部の個数は、1+2+3+1+1=8個です。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次の図の数字は、そのマスに積んだ積み木の個数です。正面から見て考えます。
- 2個以上の積み木が重なるマスだけを、答えの方眼にぬりましょう。
- 正面から見える積み木の面は、全部で何マス分ですか。
問題の条件
ヒントを見る
ヒント1 見るところ
正面の図に見える高さと、全部の個数を区別しよう。
ヒント2 考え始める
重なってかくれた積み木は、正面の図では別に数えません。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 1段目では、左・中・右の順に3個、2個、2個が重なります。3マスともぬります。
- 2段目は、左のマスだけが2個重なります。3段目には重なるマスがありません。
- 正面の図の高さは左から2段、3段、2段です。見える面は、2+3+2=7マス分です。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次の図の数字は、そのマスに積んだ積み木の個数です。見る方向を変えて考えましょう。
- 正面から見た図を、答えの方眼にぬりましょう。
- 横から見た図を、答えの方眼にぬりましょう。方眼の左が手前です。
問題の条件
ヒントを見る
ヒント1 見るところ
正面と横を、別々の向きから見よう。
ヒント2 考え始める
列ごとの最大の高さを求め、下からすき間なくマスをぬろう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 正面の図は、前後の列ごとにいちばん高いところを探します。左から3段、2段、2段です。
- 横の図は、左右の列ごとにいちばん高いところを探します。手前から2段、1段、3段です。
- 横の図の左は手前、右は奥です。上の図をそのまま横へ写さないようにしましょう。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
標準05〜08
次に、上・正面・横の図があります。上の図の数字は積み木の個数です。「?」の高さが分かりません。
- 「?」のマスには、何個積んでありますか。
- 積み木は全部で何個ありますか。
問題の条件
ヒントを見る
ヒント1 見るところ
「?」を通る正面と横の列を、両方調べよう。
ヒント2 考え始める
列の最大の高さを超えず、必要な高さをどこかで満たすことを確かめよう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 正面の図の中央の列は3段です。上の図の中央の列は、奥が1個なので、手前の「?」が3個になります。
- 手前の高さを3個にすると、横の図も手前が3段、奥が2段になり、条件に合います。
- 全部の個数は、1+3+2+1+2=9個です。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次のアとイは、上から見た図に積み木の個数を書き入れたものです。投影図を比べるときは、数字を消したマスの形で考えます。
- イはアより、積み木が何個多いですか。
- 3方向の投影図が同じなら、個数も必ず同じですか。「必ず同じ」「同じとは限らない」から選びましょう。
問題の条件
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ヒント1 見るところ
投影図だけで、かくれた場所の高さまで決まるでしょうか。
ヒント2 考え始める
各列の最大の高さを変えずに、積み木を増減できる場所を探そう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- アは3+1+1+2=7個、イは3+2+1+2=8個です。イは8-7=1個多くなります。
- 数字を消すと、上から見た形はどちらも4マスの正方形です。正面は左から3段、2段、横は手前から3段、2段です。
- 3つの投影図は同じでも、重なって見えない積み木があるため、個数は同じとは限りません。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次の3つの投影図になるように、積み木を積みます。上の図の色のマスには、どれも1個以上積みます。
- 積み木は、最も少なくて何個ですか。
- 積み木は、最も多くて何個ですか。
問題の条件
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ヒント1 見るところ
少なく置く場合と、多く置く場合を分けよう。
ヒント2 考え始める
少ない場合は必要な高さを共有し、多い場合は各マスに置ける上限を調べよう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 上の図の4マスに、まず1個ずつ置きます。正面も横も2段にするには、少なくとも2か所を2段にします。
- 対角の2か所だけを2段にすれば、両方の図に合います。最少は4+2=6個です。
- どのマスも2段まで積めます。4マスをすべて2段にすると、最多は2×4=8個です。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次の3つの投影図になるように、積み木を積みます。上の図の白いマスには、積み木を置きません。
- 積み木は、最も少なくて何個ですか。
- 積み木は、最も多くて何個ですか。
問題の条件
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ヒント1 見るところ
上から見て空いているマスには、積み木を置けません。
ヒント2 考え始める
置けるマスだけで各列の高さを満たせるか、正面と横を両方確認しよう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 横の図から、奥の2か所は1個ずつです。手前を3段にできるのは左だけなので、手前左は3個です。
- 正面の中と右を2段にするため、手前中と真ん中の右は2個です。残る真ん中の左を1個にすると、最少は10個です。
- 真ん中の左だけは2個まで増やせます。それ以外は増やせないので、最多は10+1=11個です。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
応用09〜11
次の3つの投影図になるように積みます。正面の向きを固定し、積む位置が違えば別の置き方とします。
- 積み木は、最も少なくて何個ですか。
- その最も少ない個数で積む置き方は、何通りありますか。
問題の条件
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ヒント1 見るところ
最少個数を満たすために必要な、高い積み木の場所を考えよう。
ヒント2 考え始める
正面と横の条件を同時に満たす置き方を、重なりなく書き出そう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 9マスに1個ずつ置きます。正面の左と右を3段にするには、少なくとも2か所に2個ずつ足します。
- 横の手前と真ん中にも3段が必要です。その2か所を3段にし、奥の中を2段にすれば、9+2×2+1=14個です。
- 3段の場所は、手前左と真ん中右、または手前右と真ん中左です。奥の中の2段は共通で、全部で2通りです。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次の3つの投影図になるように積みます。上の図の白いマスには、積み木を置きません。
- 3個の高さに積む場所は、少なくとも何か所必要ですか。
- 積み木は、最も少なくて何個ですか。
問題の条件
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ヒント1 見るところ
高さ3を必要とする列を、正面と横で見つけよう。
ヒント2 考え始める
条件が交わるマスを調べ、同じ積み木で両方の高さを満たせるか考えよう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 正面の中と右を3段にするには、手前の中と右を3個にする必要があります。
- 横の真ん中と奥を3段にするには、真ん中の左と奥の左も3個です。必要な場所は合計4か所です。
- 残る手前左は1個あれば、上の図に合います。最少は3×4+1=13個です。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
次の図のように積んだ20個から、上の積み木を取りのぞきます。上・正面・横の投影図は変えません。正面の向きは固定します。
- 最も多くて、何個取りのぞけますか。
- その個数を取りのぞいた後の置き方は、何通りありますか。
問題の条件
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ヒント1 見るところ
1個取り除いたとき、各列の最大の高さが変わるか考えよう。
ヒント2 考え始める
同じ列に同じ高さの積み木が残るか、正面・横・上の図を確認しよう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 9マスに1個ずつ残します。手前の左と中は3個のままです。真ん中と奥は、1か所ずつを2個にすれば、最少は9+2×2+2=15個です。
- 図の例のように正面の右も2段にできるので、20-15=5個取りのぞけます。
- 真ん中と奥で2個にする場所は各3通り。両方とも右以外の4通りを除き、3×3-2×2=5通りです。表の○を数えて確かめましょう。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる
入試チャレンジ12
次の3つの投影図になるように、積み木を全部で18個積みます。3個の高さに積む場所の数を考えましょう。
- 3個の高さに積む場所は、最も少なくて何か所ですか。
- 3個の高さに積む場所は、最も多くて何か所ですか。
問題の条件
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ヒント1 見るところ
まず図を変えずに各マスへ置ける高さの範囲を調べよう。
ヒント2 考え始める
合計18個になる条件と、各列で必要な最大の高さを同時に満たすように考えよう。
答え・解説を見る
考え方の手順
- 正面の3列を3段にするので、3個の高さが少なくとも3か所必要です。図の例のように、18個でつくれます。
- 上の図の9マスに1個ずつ置くと9個です。3個の高さを5か所にすると、9+2×5=19個になり、18個を超えます。
- 3個の高さは多くても4か所です。もう1つの図の例は、3×4+2+1×4=18個で条件に合います。
解答の図関連する動く教材で、見え方を確かめる