CHAPTER 02 · 練習プリント・確認問題
切り口の形から、体積まで。12題を順番に考えよう。
画面とPDFは同じ12題です。問題・答えのPDFは、どちらも１ページ２題で番号が対応しています。
「動く教材」と「練習プリント」の番号は別です。このページとPDFは同じ番号です。
確認できた問題 0 / 12
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立方体の１辺：6cm
１辺が６cmの立方体です。P・Q・Rは、
それぞれ辺AE・BF・CGの中点です。
この３点を通る平面で切ります。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
３点が底面から同じ高さにあることに注目しよう。
ヒント２ 考え始める
向かい合う面では切り口の線が平行になります。残りの面まで線を続けよう。
立方体の１辺：6cm
３点はすべて底面から３cmの高さです。底面EFGHに平行な平面で切るので、辺DHも中点Sで通ります。
切り口PQRSは底面と同じ大きさの正方形で、１辺は６cmです。
面積：６×６＝36cm²
P・Q・Rは、それぞれ辺AB・AD・AEの中点です。
この３点を通る平面で切ります。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
Aから３つの点までの長さを比べよう。
ヒント２ 考え始める
同じ形の直角二等辺三角形を見つけ、切り口の３辺を比べよう。
AP・AQ・ARは同じ長さです。直角二等辺三角形APQ・AQR・ARPは同じ形・大きさなので、PQ・QR・RPも同じ長さです。切り口は正三角形になります。
小さい三角すいには、元の面の一部が３面と、新しい切り口が１面あります。
面の数：３＋１＝４面
元の３面は直角三角形なので、この立体は正四面体ではありません。
頂点A・C・Gを通る平面で立方体を切ります。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
AとCを結んだ線が、上面のどこを通るか見よう。
ヒント２ 考え始める
向かい合う底面にも平行な線を引き、側面の線とつなごう。
Aを通り、辺CGと平行な線は辺AEです。この線も切る平面にふくまれるので、もう１つの頂点はEです。
切り口ACGEの四すみは直角です。面の対角線ACは立方体の辺AEより長いので、切り口は長方形です。正方形にはなりません。
１つの平面で、立方体の内部を切ります。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
切り口の１辺は、立方体の１つの面の上にあります。
ヒント２ 考え始める
１つの平面は、同じ面から切り口の２辺を作れるか考えよう。
立方体の１つの面の上にできる切り口の線は、多くても１本です。立方体には６つの面があるので、切り口の辺も６本をこえることはありません。
解答図のように６つの面すべてを通れば、実際に六角形ができます。したがって最大６本で、七角形にはできません。
P・Q・Rは、それぞれ辺AB・AD・AEの中点です。
平面PQRで、Aをふくむ小さい三角すいを切り取ります。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
もとの立方体から、消えた部分と増えた部分を分けて数えよう。
ヒント２ 考え始める
頂点・辺・面を別々に調べます。新しい切り口も１つの面です。
元の頂点８個からAがなくなり、P・Q・Rの３個が増えます。
頂点：８−１＋３＝10個
元の辺12本のうち３本は短くなりますが、なくなる辺はありません。切り口の３辺が増えます。
辺：12＋３＝15本
元の６面はどれも残り、新しい切り口が１面増えます。
面：６＋１＝７面
立方体の１辺：8cm
１辺８cmの立方体です。P・Q・Rは、それぞれ辺AB・AD・AE上にあります。
AP＝２cm、AQ＝４cm、AR＝６cmです。
平面PQRで切り、Aをふくむ三角すいを取り除きます。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
三角すいの底面と、それに垂直な高さを選ぼう。
ヒント２ 考え始める
APとAQで直角三角形の底面積を求め、ARを高さとして体積を計算しよう。
立方体の１辺：8cm
三角形APQを底面にします。APとAQは直角に交わります。
底面積：２×４÷２＝４cm²
ARは面ABCDに垂直なので、高さは６cmです。斜めの線RPやRQは高さではありません。
取り除く体積：４×６÷３＝８cm³
立方体の体積：８×８×８＝512cm³
残りの体積：512−８＝504cm³
立方体の１辺：12cm
１辺12cmの立方体です。P・Q・Rは、辺AB・AD・AEの中点です。
S・T・Uは、辺GF・GH・GCの中点です。
平面PQRと平面STUで、AとGの角を切り取ります。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
中点なので、切り取る部分の辺の長さはもとの半分です。
ヒント２ 考え始める
三角すい１個分を先に求め、もとの体積から同じ体積２個分を引こう。
立方体の１辺：12cm
切り取る２個の三角すいは同じ大きさです。中点までの長さは12÷２＝６cmです。
１個の体積：（６×６÷２）×６÷３＝36cm³
切り取る２つの部分は重なりません。
取り除く体積：36×２＝72cm³
立方体の体積：12×12×12＝1728cm³
残りの体積：1728−72＝1656cm³
立方体の１辺：8cm
１辺８cmの立方体です。Pは辺AE上、Qは辺BF上、Rは辺FGの中点です。
AP＝２cm、BQ＝６cmです。
平面PQRと辺GH・DHとの交点を、
それぞれS・Tとします。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
同じ面の上にある切り口の２点を結ぼう。
ヒント２ 考え始める
向かい合う面では切り口の線が平行です。正面の図に直すと長さを比べやすくなります。
立方体の１辺：8cm
面BCGFと面ADHEは平行なので、QRとPTは平行です。QF＝８−６＝２cm、FR＝４cmです。
QRは底面に平行な向きに４cm進むと２cm下がります。PTでは８cm進むので、下がる長さは４cmです。
Pの高さは６cm、Tの高さは２cmなので、DT＝８−２＝６cmです。
PQとTSも平行です。PQは横８cmで４cm下がり、TSは２cm下がるので、横の長さHSは半分の４cmです。
GS＝８−４＝４cm。切り口PQRSTは五角形です。
立方体の１辺：6cm
１辺６cmの立方体です。P・Q・Rは、それぞれ辺AB・BF・FGの中点です。
この３点を通る平面で切ります。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
中点どうしを結び、向かいの面まで線を続けよう。
ヒント２ 考え始める
切り口の辺と角を比べ、切り分けた２つの立体が同じ形になるか確かめよう。
立方体の１辺：6cm
平行な面の切り口は平行になることを使ってたどると、残りの３点S・T・Uも辺GH・DH・DAの中点になります。
切り口の６辺は、同じ大きさの直角二等辺三角形の斜めの辺なので、すべて同じ長さです。どの頂点でも２つの面を同じように切るため、６つの角も等しくなります。辺と角がそれぞれ等しいので、正六角形です。
この切る平面は立方体の中心を通り、両側にできる立体は同じ形・大きさです。
１個の体積：６×６×６÷２＝108cm³
立方体の１辺：6cm
１辺６cmの立方体の、頂点A・C・F・Hを結んだ立体を考えます。
図の線は、この４点を２点ずつ結んだものです。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
結んだ線は、立方体の各面の対角線です。
ヒント２ 考え始める
中央の立体の外にある、角の三角すいを数えて引く方法を考えよう。
立方体の１辺：6cm
６本の辺は、どれも立方体の面の対角線で、同じ長さです。４つの面がすべて同じ大きさの正三角形なので、正四面体です。
B・D・E・Gのまわりにある４個の三角すいを、立方体から引きます。
１個の体積：（６×６÷２）×６÷３＝36cm³
立方体の体積：６×６×６＝216cm³
中央の体積：216−36×４＝72cm³
正四面体の斜めの高さを求めずに計算できます。
立方体の１辺：6cm
１辺６cmの立方体です。となり合う面の中心どうしを結んだ立体を考えます。
Pは上面、Uは底面、Q・R・S・Tは側面の中心です。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
上と下に分けると、同じ形のすい体が見つかります。
ヒント２ 考え始める
中央の正方形の面積を求め、上と下の高さを使って体積を求めよう。
立方体の１辺：6cm
８つの面が同じ大きさの正三角形になるので、正八面体です。２つの四角すいを上下に合わせた形として数えます。
頂点６個、辺４＋４＋４＝12本、面４＋４＝８面
QRSTは、１辺６cmの水平な正方形の４辺の中点を結んだ正方形です。四すみの三角形を引くと、底面積が求められます。
６×６−（３×３÷２）×４＝18cm²
四角すい１個の高さ：６÷２＝３cm
全体の体積：18×３÷３×２＝36cm³
立方体の１辺：12cm
１辺12cmの立方体です。P・Q・Rは、それぞれ辺AB・AD・AE上にあります。
AP＝３cm、AQ＝４cm、AR＝６cmです。
辺AB上にAS＝６cmとなる点Sをとります。Sを通り、平面PQRに平行な平面と、辺AD・AE（頂点をふくむ）との交点をそれぞれT・Uとします。
上面ABCD・底面EFGH。図の見た目だけで判断せず、問題の条件で考えましょう。
ヒント１ 見るところ
平行な切り口では、Aから各交点までの長さの比がそろいます。
ヒント２ 考え始める
ASがAPの何倍か調べ、２つの三角すいの体積の差を求めよう。
立方体の１辺：12cm
平行な２つの平面の切り口は、各面でも平行です。AS：AP＝６：３＝２：１なので、ATはAQの２倍、AUはARの２倍です。
AT＝４×２＝８cm、AU＝６×２＝12cm
AUは立方体の１辺と同じ長さ。UはEと重なります。
大きい三角すいASTUから、小さい三角すいAPQRを引きます。
大：（６×８÷２）×12÷３＝96cm³
小：（３×４÷２）×６÷３＝12cm³
はさまれた部分：96−12＝84cm³
長さが２倍になると、体積は２×２×２＝８倍です。96＝12×８でも確認できます。