CHAPTER 03 · 練習プリント・確認問題

立方体の展開図 11種類に挑戦

向かい合う面から、重なる頂点と辺へ。11種類の展開図を12題で確かめよう。

画面とPDFは同じ12題です。問題・答えのPDFは、どちらも1ページ2題で番号が対応しています。

「動く教材」と「練習プリント」の番号は別です。このページとPDFは同じ番号です。

展開図の見方

基本01〜04

01
基本

向かい合う面を見つける

図の展開図を組み立てて、立方体を作ります。

  1. 面Bと向かい合う面はどれですか。
  2. 面Aと向かい合う面はどれですか。
問題の図
問題図:向かい合う面を見つける展開図①ABCDEF

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ヒント1 見るところ
まず1つの面を動かさず、まわりの面を立てるつもりで見よう。

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答え
  • (1) Bと向かい合う面:F
  • (2) Aと向かい合う面:D

考え方

  1. 一直線につながった3面は、両はしの面が向かい合います。B・D・Fに注目すると、BとFが向かい合います。
  2. 同じようにA・B・Dを見ると、AとDが向かい合います。残るCとEも向かい合う組です。
解答の図
解答図:向かい合う面を見つける展開図①ABCDEF向かい合う面BとF / AとD / CとE
02
基本

底面と、となり合う面

図の展開図を組み立て、面Bを底面にして机に置きます。

  1. 上面になる面はどれですか。
  2. 面Bと1本の辺を共有する面は、いくつありますか。
問題の図
問題図:底面と、となり合う面展開図②ABCDEF

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ヒント1 見るところ
面Bを下にして、まわりの4面を立てて考えよう。

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答え
  • (1) 上面:D
  • (2) Bと辺を共有する面の数:4面

考え方

  1. A・B・C・Dは、立方体をぐるりと囲む4面です。Bから1面おきのDがBと向かい合うので、Dが上面になります。
  2. 1つの面には4本の辺があり、それぞれ別の面と接します。Bに接する面はA・C・E・Fの4面です。
解答の図
解答図:底面と、となり合う面展開図②ABCDEF向かい合う面BとD / AとC / EとF
03
基本

はなれた頂点が重なる

図の展開図を立方体に組み立てます。指定された番号以外で答えましょう。

  1. 頂点①と重なる頂点はどれですか。
  2. 頂点⑭と重なる頂点はどれですか。
問題の図
問題図:はなれた頂点が重なる展開図③ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
番号だけを追わず、その頂点につながる辺も見よう。

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答え
  • (1) ①と重なる頂点:⑥
  • (2) ⑭と重なる頂点:⑩

考え方

  1. Aをふた、B・C・D・Eをまわりの4面にして折ります。DとEの境目の上端⑥に、Aの左上の①が重なります。
  2. 底を閉じると、Fの右下の⑭が、CとDの境目の下端⑩に重なります。図の同じ印を合わせて確かめましょう。
解答の図
解答図:はなれた頂点が重なる展開図③ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。
04
基本

辺は両はしを合わせる

図の展開図を立方体に組み立てます。指定された辺や番号以外で答えましょう。

  1. 辺①②と重なる辺はどれですか。
  2. 頂点⑧と重なる頂点をすべて答えましょう。
問題の図
問題図:辺は両はしを合わせる展開図④ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
重なる辺は、両はしの頂点も重なります。

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答え
  • (1) ①②と重なる辺:⑤⑥
  • (2) ⑧と重なる頂点:⑫・⑬

考え方

  1. Aをふたにすると、①は⑥に、②は⑤に重なります。両はしが一致するので、辺①②は辺⑤⑥に重なります。
  2. B・C・D・Eをぐるりと折ると⑧と⑫が重なり、Fで底を閉じると⑬も同じ角に来ます。⑧以外は⑫・⑬です。
解答の図
解答図:辺は両はしを合わせる展開図④ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。

標準05〜08

05
標準

面・頂点・辺をつなげる

図の展開図を立方体に組み立てます。重なるものは、指定されたもの以外を答えましょう。

  1. 面Bに平行な面はどれですか。
  2. 頂点⑨と重なる頂点はどれですか。
  3. 辺⑧⑨と重なる辺はどれですか。
問題の図
問題図:面・頂点・辺をつなげる展開図⑤ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
先に向かい合う面の組を調べよう。

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答え
  • (1) Bに平行な面:D
  • (2) ⑨と重なる頂点:⑭
  • (3) ⑧⑨と重なる辺:⑫⑭

考え方

  1. B・C・D・Eがまわりの4面になります。BとDは向かい合うので平行です。
  2. Fで底を閉じると、⑨は⑭に重なります。また、まわりの面を閉じると⑧は⑫に重なります。
  3. 両はしの対応は⑧と⑫、⑨と⑭です。したがって、辺⑧⑨に重なるのは辺⑫⑭です。
解答の図
解答図:面・頂点・辺をつなげる展開図⑤ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。
06
標準

3つの番号が1つの角に

図の展開図を立方体に組み立てます。指定された辺や番号以外で答えましょう。

  1. 頂点①と重なる頂点をすべて答えましょう。
  2. 頂点③と重なる頂点はどれですか。
  3. 辺①③と重なる辺はどれですか。
問題の図
問題図:3つの番号が1つの角に展開図⑥ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
1つの立方体の角には、3つの面が集まります。

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答え
  • (1) ①と重なる頂点:⑥・⑭
  • (2) ③と重なる頂点:⑬
  • (3) ①③と重なる辺:⑬⑭

考え方

  1. BからC・E・Fの順に折ると、Fの下の辺がAの左の辺に届きます。Fの右下⑭が①に、左下⑬が③に重なります。
  2. Dも折りたたむと、Dの右上⑥が①と⑭の角に集まります。①以外の番号は⑥・⑭です。
  3. ①に⑭、③に⑬を合わせるので、辺①③と辺⑬⑭が重なります。端の順序にも注意しましょう。
解答の図
解答図:3つの番号が1つの角に展開図⑥ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。
07
標準

1つの頂点に集まる面

図の展開図を立方体に組み立てます。

  1. 頂点①に集まる3面のうち、A以外の2面はどれですか。
  2. 面Bと面Eは、1本の辺を共有しますか。
問題の図
問題図:1つの頂点に集まる面展開図⑦ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
指定された頂点を角としてもつ面を調べよう。

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答え
  • (1) A以外の2面:E・F
  • (2) BとEは辺を共有するか:いいえ

考え方

  1. ①はAの左上、⑫はEの右下、⑭はFの右下です。折るとこの3点が重なるので、この角に集まる面はA・E・Fです。
  2. 向かい合う面はAとD、BとE、CとFです。BとEは向かい合っているので、辺も頂点も共有しません。
解答の図
解答図:1つの頂点に集まる面展開図⑦ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。
08
標準

曲がった展開図の辺

図の展開図を立方体に組み立てます。

  1. 辺③⑥と重なる別の辺はどれですか。
  2. (1)の辺の両はしのうち、③と重なる頂点はどれですか。
  3. 面Fと向かい合う面はどれですか。
問題の図
問題図:曲がった展開図の辺展開図⑧ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
曲がったところも、つながっている辺を折り目にして追おう。

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答え
  • (1) ③⑥と重なる辺:⑨⑫
  • (2) ③と重なる頂点:⑫
  • (3) Fと向かい合う面:B

考え方

  1. DをはさんでCとEを折り、CにつながるBも折ります。Bの左の辺③⑥が、Eの左の辺⑨⑫に重なります。
  2. 端を確かめると、③は⑫に、⑥は⑨に重なります。数字の小さい順どうしが重なるとは限りません。
  3. EにつながるFを閉じると、BとFが向かい合います。ほかの組はAとD、CとEです。
解答の図
解答図:曲がった展開図の辺展開図⑧ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。

応用09〜11

09
応用

同じ面にない頂点を探す

図の展開図を立方体に組み立てます。

  1. 頂点①と同じ面の上にない頂点の番号を、すべて答えましょう。
  2. 辺①③と重なる別の辺はどれですか。
問題の図
問題図:同じ面にない頂点を探す展開図⑨ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
①が集まる3面を先に見つけよう。

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答え
  • (1) ①と同じ面にない頂点:⑦
  • (2) ①③と重なる辺:⑫⑭

考え方

  1. ①に集まる面はA・E・Fです。その反対の角には、A・E・Fのどれも来ず、それぞれの向かいの面D・B・Cが集まります。
  2. B・C・Dが集まるのは⑦です。よって、①と同じ面の上にない頂点の番号は⑦だけです。
  3. 辺は両はしで確かめます。①は⑫に、③は⑭に重なるので、辺①③と辺⑫⑭が重なります。
解答の図
解答図:同じ面にない頂点を探す展開図⑨ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。太いわく:反対の角
10
応用

重なる辺とテープの長さ

1辺4cmの正方形6枚をつないだ展開図です。組み立てたとき新しく合う辺だけに、すき間や重ねはりなくテープをはります。

  1. 辺⑨⑫と重なる別の辺はどれですか。
  2. (1)の辺の両はしのうち、⑨と重なる頂点はどれですか。
  3. 必要なテープは全部で何cmですか。
問題の図
問題図:重なる辺とテープの長さ展開図⑩ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭正方形の1辺:4cm

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ヒント1 見るところ
新しく合う辺と、すでにつながっている折り目を区別しよう。

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答え
  • (1) ⑨⑫と重なる辺:②⑤
  • (2) ⑨と重なる頂点:⑤
  • (3) テープの長さ(cm):28cm

考え方

  1. ①・③・⑬が1つの角に来るように折ると、②と⑫、⑤と⑨が重なります。辺⑨⑫と重なるのは辺②⑤で、⑨に合う端は⑤です。
  2. 立方体の辺は12本です。展開図ですでにつながっている辺(点線)は5本なので、新しく合わせる辺は12-5=7本です。
  3. 1本につき4cmのテープが必要です。
    全部の長さ:4×7=28cm
解答の図
解答図:重なる辺とテープの長さ展開図⑩ABCDEF①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。
11
応用

3面をぬった立方体

図の展開図のA・E・Fだけを赤くぬってから、立方体に組み立てます。

  1. 赤い3面が集まる頂点の番号を、すべて答えましょう。
  2. 赤い面が1つも集まらない頂点の番号を、すべて答えましょう。
  3. 赤い面がちょうど2面集まる立方体の頂点は、何個ありますか。
問題の図
問題図:3面をぬった立方体展開図⑪A赤BCDE赤F赤①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

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ヒント1 見るところ
組み立てた立方体の8つの角を1つずつ調べよう。

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答え
  • (1) 赤い3面が集まる頂点:①・⑫
  • (2) 赤い面がない頂点:⑥
  • (3) 赤い2面が集まる頂点の数:3個

考え方

  1. A・E・Fが1つの角に集まります。その角で①と⑫が重なるので、番号は①・⑫です。
  2. 反対の角には、赤い面の向かい側のC・B・Dが集まります。この角は⑥で、赤い面は1つもありません。
  3. 赤い3面の角からのびる3本の辺を、1本ずつたどった先が「赤い2面」の頂点です。②と⑩、③と⑭、⑧と⑪がそれぞれ重なり、全部で3個です。
解答の図
解答図:3面をぬった立方体展開図⑪A赤BCDE赤F赤①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭同じ形の印の頂点が重なります。太いわく:反対の角

入試チャレンジ12

12
入試チャレンジ

数の和で考える立方体

6つの面に1〜6を1つずつ書きます。向かい合う面の数の和は7です。図のようにAに1、Bに2、Eに3を書き、組み立てます。

  1. 面Dに書く数はいくつですか。
  2. 1つの頂点に集まる3面の数の和は、最大いくつですか。
  3. 8つの頂点それぞれで3面の数の和を求めます。その8つの和を全部足すと、いくつですか。
問題の図
問題図:数の和で考える立方体展開図②A1B2C?D?E3F?

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ヒント1 見るところ
向かい合う面を先に決め、残りの数を書き込もう。

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答え
  • (1) 面Dの数:5
  • (2) 1つの頂点での最大の和:15
  • (3) 8つの和の合計:84

考え方

  1. 向かい合う組はAとC、BとD、EとFです。和が7なので、Cは6、Dは5、Fは4になります。
  2. 6・5・4は、どの2面も向かい合わず、1つの頂点に集まります。最大の和は6+5+4=15です。
  3. 1つの面には頂点が4つあるので、各面の数は4回ずつ足されます。
    合計:(1+2+3+4+5+6)×4
       =21×4=84
解答の図
解答図:数の和で考える立方体展開図②A1B2C6D5E3F4向かい合う面AとC / BとD / EとF

紙でもう一度、確かめよう

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